Nouvelle Mathématique
En s’appuyant sur une généralisation des modèles associatifs des nombres classiques et hypercomplexes, régis par les propriétés distributives, des modèles de nombres objets ont été proposés. Ils sont appelés sady (« jardins »).
Il s’agit d’ensembles finis, dont les éléments sont des matrices de différentes dimensions et à la structure complexe. Ces ensembles sont fermés, en particulier, par des opérations partiellement non-associatives. Ils ne possèdent pas la distributivité, ce qui les distingue fondamentalement des ensembles habituels.
Ils entretiennent des analogies avec les modèles de corps de Galois et leurs extensions, tout en les surpassant selon le critère de génération directe de relations fonctionnelles à l’intérieur de l’ensemble.
L’étude des propriétés de ces modèles a permis de découvrir non seulement des lois algébriques non triviales et de nouvelles algèbres, mais aussi des solutions inaccessibles aux moyens classiques. Par exemple, le théorème de Pythagore y est généralisé, et le problème de Fermat y trouve une nouvelle solution. Grâce à une opération modulaire de multiplication et une co-modulaire d’addition, les ensembles objets obéissent à la condition de Diophante-Brahmagupta.
L’analyse révèle que ces ensembles contiennent les « germes » des algèbres connues de Leibniz, Malcev, Seigal, Akivis… ouvrant la voie à leur approfondissement et à des applications pratiques.
L’absence de distributivité permet d’envisager une future généralisation des modèles d’espaces vectoriels de Gauss, ainsi que des algèbres de Hamilton, Clifford et Grassmann.
Les ensembles objets permettent d’interpréter les carrés magiques numériques comme des prototypes de dispositifs technologiques capables de produire les mêmes objets dans des conditions différentes. Sont présentés des carrés magiques objets non pas sur la somme des éléments, mais sur leur produit.
Les mathématiques objets ont « étendu » les 8 trigrammes chinois à 27 trigrammes, permettant de formuler des lois de la vie, en réunissant la mythologie orientale et l’analyse occidentale.
Un nouvel éclairage est apporté à la division cellulaire dans les ensembles objets : un algorithme d’auto-organisation y construit la « coquille » de la cellule à partir de son noyau, en fonction des conditions de l’environnement.
La géométrie projective a été profondément généralisée, en remplaçant les points par des éléments d’ensembles objets, et les lignes par des conditions fonctionnelles de types variés. Des analogues objets des théorèmes de Pappus et de Desargues ont été trouvés.
Il est démontré que la géométrie finie objet de Fano ne respecte pas les conditions de Desargues.
Diverses fonctions invariantes par rapport à l’argument ont été identifiées, notamment des exponentielles objets cycliques, généralisant le modèle d’Euler.
Des modèles de génération de spectres d’opérations associatives et non associatives sont proposés, permettant de modéliser mathématiquement la diversité des interactions physiologiques et informationnelles entre êtres vivants — ces derniers étant représentés par les ensembles objets.
De nombreux algorithmes de codage de l’information sont illustrés, ainsi que des indications sur la gestion de l’information.
Le contenu est présenté de manière accessible, et peut devenir un catalyseur de créativité pour de jeunes chercheurs intéressés par l’étude et la modélisation des systèmes vivants et des lois qui régissent leur existence.
Le point de vue adopté est que les opérations associatives sont plus proches et plus commodes pour représenter et décrire les Corps et leur physiologie, tandis que les opérations non-associatives sont plus pertinentes pour les interactions informationnelles. Dans cette perspective, les mathématiques objets, avec leurs matrices à structure complexe, peuvent être vues comme une esquisse des mathématiques du futur, pour la modélisation et la gestion des systèmes vivants, de leur Conscience et de leurs Émotions.
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